[共通テスト数学1A]大問4を14分で解くポイント!!

共通テスト数学は他教科と比較し、難易度が高く、適切な対策を練らなければ得点しづらい科目です。

問題数の多さや難易度の高さから、受験生の皆さんの中には悩みを抱えている方も多いのはないでしょうか。

2021年を境にセンター試験から共通テストへの名称変更があり、制限時間は10分増加しました。

時間が増加した分、問題の難化が進み、共通テストでは従来のセンター試験と比べて
表現力や思考力、判断力を問われる問題が増加しました。

知識や技能を暗記するだけでは対応できない試験へと変更され、
それを活用する必要のあるテストに進化しました。

特に数学ⅠAの大問4に解答する際は変更に伴い文章量が増加したため、
あらかじめ文章から情報を読み取るテクニックを身につけることは必要不可欠です。

受験生の皆さんは、2022年度共通テスト数学ⅠAの平均点をご存知でしょうか。

数学ⅠAの平均点は他教科と比較し圧倒的に低く、37.96点でした。

引用:『2022年度共通テスト平均点 – 河合塾 Kei-Net』

平均点が圧倒的に低い数学ⅠAは高得点できれば他の受験生との差を広げる大チャンスでもあります。

現状はまだうまく得点できていないものの、受験当日は数学ⅠAを得点源にしたいと考えている方はいませんか。

当記事では、数学を頑張りたい受験生に向けて、共通テスト数学ⅠA大問4の対策方法について解説します。

大問1、2、3の対策については以下のリンクを参考にしてください。

『[共通テスト数学ⅠA]　大問1を20分で解くポイント!!』

『[共通テスト数学ⅠA]　大問2を20分で解くポイント!!』

『[共通テスト数学ⅠA]　大問3を14分で解くポイント!!』

共通テスト数学ⅠAの制限時間と構成

まずは、共通テストの時間と大問構成、配点についておさらいしておきましょう。

共通テスト数学ⅠA の制限時間は70分です。

大問構成は以下の通りです。

年度	大問1 (配点　30)	大問2 (配点　30)	大問3 (配点　20)	大問4 (配点　20)	大問5 (配点　20)
2022	数と式 図形と計量	２次関数、 集合と命題、 データ分析	場合の数と確率	整数の性質	図形の性質
2021　第1日程	数と式 図形と計量	２次関数、 データ分析	場合の数と確率	整数の性質	図形の性質
2021　第2日程	数と式 図形と計量	２次関数、 データ分析	場合の数と確率	整数の性質	図形の性質

大問4は何分で解けば良いのか

共通テスト数学ⅠAは、大問1、大問2でそれぞれ30点ずつ、大問3、大問4、大問5の中から2問選択して、それぞれ20点ずつの合計100点で構成されています。

総得点のうち20%が大問4の得点であり、単純計算した場合、大問4では70分のうちの20%である14分を使用可能です。

実際に共通テストの過去問や、共通テスト模試に取り組んだことのある方であれば共通テスト数学ⅠAの大問3を14分で解くことがいかに難しいかわかる方も多いのではないでしょうか。

大問4では整数の性質が出題されています。

しかし、ある程度コツを掴めば時間を意識しながらでも解けるようになります。

当記事では、共通テストで大問4を14分で解くコツと対策法を紹介します。

共通テストで出題される整数の性質の分野

整数の性質の分野では、倍数や約数、素数など整数の性質を使って解く問題が出されます。

数字の世界のことなので、苦手な方はなかなかイメージがしにくいのではないかと思います。

共通テストでは、大問3〜5は選択問題なので整数の性質は解かない方もいるのではないでしょうか。

共通テストで出題される整数の性質の問題は、以下の４つの分野から出題されることが多いです。

以上の4つをマスターすれば、共通テストの大問4は解ける可能性が高いです。

したがって、苦手だからといって早々に切り捨てるのはもったいないので、一度解いてみてから考えましょう。

では、それぞれの分野について解説します。

最小公倍数・最大公約数

最小公倍数・最大公約数で出題されることは２つや３つの数字の最小公倍数や最大公約数を求めることです。

3と4の最小公倍数や15と20の最大公約数など小さな数字であれば、公倍数や公約数を実際に導いて解けます。

しかし、高校数学では132と360の最大公約数や12、6、8の最小公倍数を求められたりして、先ほどの解き方だと解くのが大変だったり、共通テストの時間制限内に解けなかったりします。

そこで使用するのが素因数分解です。

例えば6と10の最小公倍数を求めるとします。

6と10の公倍数は、30、60、90、120、150・・・となります。

よって、最小公倍数は30となるのですが、素因数分解を使って解いていきましょう。

まず、6と10をそれぞれ素因数分解します。
$$6=2 \times 3 \\ 10=2 \times 5$$

公倍数にはそれぞれの素因数が必ず含まれています。

例えば90を素因数分解すると
$$90=2 \times 3^{2} \times 5$$

150では、
$$150=2 \times 3 \times 5^{2}$$

と必ず、6と10の素因数である2と3と5が含まれています。

よって、最小公倍数は2と3と5の素因数が含まれる最小の数より、
$$2 \times 3 \times 5=30$$

これで、最小公倍数が求めることができました。

最小公倍数はそれぞれの素因数の指数の最大値を掛けて求めます。

次に12と18の最大公約数を求めます。

12と18をそれぞれ因数分解すると、

$$12=2^{2} \times 3 \\ 18=2 \times 3^{2}$$

となります。

公約数はそれぞれの数が割れる数なので、それぞれの素因数の指数の最小値を掛けて求めます。

先ほどの最小公倍数では各素因数の指数の最大値の数を掛けましたが、反対に最大公約数は逆に各素因数の指数の最小値を掛けます。

よって、12と18の最大公約数は、

$$2 \times 3=6$$

となります。

互いに素

3と5や14と27など、

2つの自然数の最大公約数が1だったとき、互いに素といいます。

最大公約数が1なので、共通の素因数が存在しません。

例えば、14と27を素因数分解すると、

$$14=2 \times 7 \\
27=3^{3}$$

となり、共通する素因数がないので、２つの数は互いに素であることがわかります。

互いの素には性質があります。

a、b、cは整数で、a、bは互いに素であるとする。

最小公倍数・最大公約数の性質

2つの自然数の最小公倍数、最大公約数について以下の性質があります。

2つの自然数a、bの最大公約数をg、最小公倍数をlとします。

\(a=ga’\)、\(b=gb’\)であるとすると、

が成り立ちます。

例えば、32と560の最大公約数は16であり、

\(32=16 \times 2 \quad 560=16 \times 35\)と表すことができます。

このとき2と35は互いに素です。

また、32、560の最小公倍数は\(16 \times 2 \times 35=1120\)です。

さらに\(32 \times 560=16 \times 1120=17920\)となります。

整数の割り算の商と余り

整数aと正の整数bについて

A=bq+r (0<=r<b)　(qは商、rは余り)

となる整数q、rは1通りに定めることができます。

例えば130を9で割ると商14余り4となります。

このとき、\(130=14 \times 9+4\)と表すことができます。

n進法

n進法とは、n個の数字を使って数をあらわす方法です。

例えば10進法では、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10個の数字を使って表します。

2進法では、0、1の2個の数字を使って数を表します。

このとき、10進法の10や2進法の2を底といいます。

n進法では底の変換をできるようにしておきましょう。

ユークリッドの互除法

ユーグリッドの互除法とは素因数分解をせずに最大公約数が求める方法です。

素因数分解をするとき大きな数の素因数が出たときなど、素因数分解しにくいときに活用すると良いでしょう。

ユークリッドの互除法のやり方は、2つの自然数の大きい方の数を小さい方の数で割ります。

次に前の式の割る数を前の式の余りで割ります。それを続け、余りが0になったときその式の割る数がその2つの最大公約数となります。

例題として、498と36の最大公約数を求めます。

$$498 \div 36=13 \cdots 30\\
36 \div 30=1 \cdots 6\\
30 \div 6=5 \cdots 0$$

よって、498と36の最大公約数は6となります。

1次不定方程式

1次不定方程式の分野では、a、b、cが整数のとき、\(ax+by=c \quad (aとbは互いに素)\)を満たす整数x、yを求める問題が出されます。

この方程式は一次関数なのでxy平面上の直線になります。

よって、求める整数x、yはこの直線上にあるすべての点から整数であるものを抜き出すので、解は１つだけではありません。

したがって、解が定まっていないので、不定方程式と呼びます。

まずは、\(c=1\)のときの1次不定方程式の解き方を紹介します。

例題として1次不定方程式\(2x+5y=1 \cdots ①\)の整数解を解きます。

まずは、上の式の整数解を1つ導き出します。

\((x,y)=(3,1)\)が整数解の1つなので、
\(2 \cdot 3+5 \cdot 1=1 \cdots ②\)

①-②より、
\(2(x-3)+5(y-1)=0\)

変形すると、
\(2(x-3)=-5(y-1)\)

2と5は互いに素なので、\(y-1=-2k \quad (kは整数)\)と表すことができます。

同様に\(x-3=5k\)と表すことができます。

よって、①の整数解は、
\(x=5k+3\)、\(y=-2k+1\)となります。

次に\(c \neq 1\)のときの1次不定方程式の解き方を紹介します。

例題として、次不定方程式\(2x+5y=3 \cdots ①’\)を解きます。

まずは、\(2x+5y=1\)の1つの整数解を求めます。

\((x,y)=(3,1)\)が整数解の1つなので、
$$2 \cdot 3+5 \cdot 1=1$$

上の式の両辺に3をかけて、
$$2 \cdot 9+5 \cdot 3=3 \cdots ②’$$

あとは、\(c=1\)の時と同じように計算するだけです。

\(①’-②’\)より
$$2(x-9)+5(y-3)=0$$

2と5は互いに素だから
\(x-9=5k\) , \(y-3=-2k\)が整数解となります。

時間短縮のための裏ワザ

倍数の判定方法

その数が何倍なのか分かればどの数が約数なのかがわかりやすくなります。

そのときに以下の倍数の判定法を知っておけば、非常に役立ち、時間の短縮につながります。

他にも7、11、13の倍数の判定方法もありますが覚えにくく、また計算に時間がかかるので共通テストでは暗記をしなくても大丈夫です。

ユークリッドの互除法を使用した1次不定方程式の解き方

1次不定方程式を求めるときに厄介なのが、最初に1つ整数解を求めることです。

すぐに発見できれば良いですが、見つけるのが簡単でない方程式もあります。

そのときに使うのがユークリッドの互除法です。

例題として、1次不定方程式\(54x+43y=1\)の整数解を1つ求めます。

$$54 \div 43=1 \cdots 11\\
43 \div 11=3 \cdots 10\\
11 \div 10=1 \cdots 1\\
10 \div 1=10 \cdots 0$$

それぞれの式を変形すると、
$$11=54-43 \times 1 \cdots ①”\\
10=43-11 \times 3 \cdots ②”\\
1=11-10 \times 1 \cdots ③”$$

②”を③”に代入
$$1=11-(43-11 \times 3) \times 1\\
1=11 \times 4-43 \times 1$$

上の式に①”を代入
$$1=(54-43 \times 1) \times 4-43 \times 1\\
1=54 \times 4+43 \times (-5)$$

よって、\((x,y)=(4,-5)\)が整数解の1つです。

このようにユーグリッドの互除法を使って、整数解の１つを求めることができるので、不定方程式を見て整数解が見つけられなさそうだと感じた場合は、この方法を使うと代入して発見する方法よりも時間を短縮できます。

まとめ

本日は、共通テスト大問4の解き方や早く解く方法を紹介しました。

従来のセンター試験に比べて共通テストは、問題文が多いので読むだけで時間が取られてしまいます。

焦って読むと問題文の意図がわからなかったり、問題を解く上で重要な部分を見落としてしまう可能性があります。

落ち着いて読むためにもあらかじめ戦略をたて、心に余裕を持てるようにしておきましょう。

また、自身で対策を練ることは難しいと感じた方は、塾に頼ることも選択肢の1つです。

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