[共通テスト数学1A]大問3を14分で解くポイント!!

共通テスト数学は他教科と比較し、難易度が高く、適切な対策を練らなければ得点しづらい科目です。

問題数の多さや難易度の高さから、受験生の皆さんの中には悩みを抱えている方も多いのはないでしょうか。

2021年を境にセンター試験から共通テストへの名称変更があり、制限時間は10分増加しました。

時間が増加した分、問題の難化が進み、共通テストでは従来のセンター試験と比べて
表現力や思考力、判断力を問われる問題が増加しました。

知識や技能を暗記するだけでは対応できない試験へと変更され、
それを活用する必要のあるテストに進化しました。

特に数学ⅠAの大問3に解答する際は変更に伴い文章量が増加したため、
あらかじめ文章から情報を読み取るテクニックを身につけることは必要不可欠です。

受験生の皆さんは、2022年度共通テスト数学ⅠAの平均点をご存知でしょうか。

数学ⅠAの平均点は他教科と比較し圧倒的に低く、37.96点でした。

引用:『2022年度共通テスト平均点 – 河合塾 Kei-Net』

平均点が圧倒的に低い数学ⅠAは高得点できれば他の受験生との差を広げる大チャンスでもあります。

現状はまだうまく得点できていないものの、受験当日は数学ⅠAを得点源にしたいと考えている方はいませんか。

当記事では、数学を頑張りたい受験生に向けて、共通テスト数学ⅠA大問3の対策方法について解説します。

大問1、2、4の対策については以下のリンクを参考にしてください。

『[共通テスト数学ⅠA]　大問1を20分で解くポイント!!』

『[共通テスト数学ⅠA]　大問2を20分で解くポイント!!』

『[共通テスト数学ⅠA]　大問4を14分で解くポイント!!』

共通テスト数学ⅠAの制限時間と構成

まずは、共通テストの時間と大問構成、配点についておさらいしておきましょう。

共通テスト数学ⅠA の制限時間は70分です。

大問構成は以下の通りです。

年度	大問1 (配点　30)	大問2 (配点　30)	大問3 (配点　20)	大問4 (配点　20)	大問5 (配点　20)
2022	数と式 図形と計量	２次関数、 集合と命題、 データ分析	場合の数と確率	整数の性質	図形の性質
2021　第1日程	数と式 図形と計量	２次関数、 データ分析	場合の数と確率	整数の性質	図形の性質
2021　第2日程	数と式 図形と計量	２次関数、 データ分析	場合の数と確率	整数の性質	図形の性質

大問3は何分で解けば良いのか

共通テスト数学ⅠAは、大問1、大問2でそれぞれ30点ずつ、大問3、大問4、大問5でそれぞれ20点ずつから大問2つを選択し、合計100点で構成されています。

総得点のうち20%が大問3の得点であり、単純計算した場合、大問3では70分のうちの20%である14分を使用可能です。

実際に共通テストの過去問や、共通テスト模試に取り組んだことのある方であれば共通テスト数学ⅠAの大問3を14分で解くことがいかに難しいかわかる方も多いのではないでしょうか。

大問3では場合の数と確率が出題されています。

場合の数と確率では、公式が少ないので暗記することよりも、数学的思考力が必要となってきます。

そのため、場合の数と確率が苦手だという方もたくさんいると思います。

しかし、ある程度コツを掴めば時間を意識しながらでも解けるようになります。

当記事では、共通テストで大問3を14分で解くコツと対策法を紹介します。

場合の数と確率とは

まず、場合の数と確率とは何なのか、またどのような問題が出るのか説明します。

場合の数

ある事柄において、起こり得るすべての場合を数え上げるとき、その総数を場合の数と言います。

すべての場合を数え上げるときに漏れがあったり、重複したりしないように
辞書式配列や樹形図を使います。

確率

試行

同じ条件のもとで繰り返し行うことができ、その結果が偶然によって決まる実験や観察を試行と言います。

事象

試行の結果起こる事の内容を事象といいます。

試行の結果起こるすべての事象全体を全事象といい、Uで表されます。

そして、Uのただ一つの要素からなる集合で表される事象を根元事象といいます。

例えば、サイコロを１回振ったとき、1〜6の目のどれかが出ます。

このとき、1〜6の目が出ることを全事象といい、
1の目が出る、2の目が出る、3の目が出る、4の目が出る、5の目が出る、6の目が出る、
それぞれの事象１つ１つを根元事象といいます。

また、空集合∅で表される事象を空事象といいます。

事象の確率

1つの試行において、ある事象の起こることが期待される割合を事象の確率といいます。

また、どの根元事象が同じ程度に起こることが期待できるとき、
これらの根元事象は同様に確からしいといいます。

すべての根元事象が同様に確からしいとき、ある事象Aの確率P(A)は次のように求められます。

$$P(A)=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうるすべての場合の数}$$

例えば、サイコロを１回振った時、1の目が出る確率を求めるとします。

この場合の事象Aは1の目が出る時です。

サイコロを1回振った時に出る目は、1〜6の6通りあります。

これが起こりうるすべての場合の数です。

次に、サイコロを１回振った時に１の目が出るのは1通りしかないので、
事象Aの起こる場合の数は1となります。

これらを上記の公式に代入すると、

$$P(A)=\frac{1}{6}$$

となります。これがサイコロを１回振った時、1の目が出る確率です。

確率は、1つの試行において、ある事象の起こることが期待される割合なので、
最大値は100％＝1となり、最小値は0％＝0となります。

$$0 \leq P(A) \leq 1$$

したがって、確率を求める際に分子が分母よりも大きい数字になった時は
計算方法が間違っている可能性があります。

場合の数と確率で覚えておくこと

順列と組み合わせ

順列

順列とは、いくつかのものを順序をつけて並べることです。

異なるものn個からr個を取り出し順序をつけて並べるとき、

$${}_{n}P_{r}=n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1) \quad (r \leq n)$$

となります。

例えば、5個の異なるものから3個を取り出し順序をつけて並べるとき、

$${}_5 P_3=5 \cdot 4 \cdot 3=60$$

よって、60通りの並べ方があることがわかります。

また、異なるものn個から0個を取り出し順序をつけて並べるときは何もないの1通りとなるため、
\({}_nP_0=1\)と定めることができます。

さらに、r=nのとき、すなわち異なるものn個をすべて順序をつけて並べるとき

$${}_nP_n=n(n-1)(n-2)・・・ \cdot 2 \cdot 1$$

この時の右辺をnの階乗といい、n!と表します。また、0！＝1となります。

組み合わせ

組み合わせとは、いくつかのものを順序を考慮せずに取る取り出し方のことをいいます。

異なるn個のものからr個を順序を考慮せずに取る組み合わせは、

$${}_nC_r= \frac{{}_nP_r}{r!} =\frac{n(n-1)・・・(n-r+1}{r(r-1)・・・ \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \quad (r \leq n)$$

となります。

例えば、異なる5個のものから3個を順序を考慮せずに取る取り出し方は、

$${}_5C_3= \frac{{}_5P_3}{3!}= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1}=10$$

よって、10通りの組み合わせ方があることがわかります。

また、順列のときと同様に、\({}_nC_0\)と定めることができます。

順列と組み合わせの使い分け

ここまで順列と組み合わせについて説明しましたが、問題を解く上で
順列と組み合わせどちらで計算すれば良いのだろうかという悩みが出てきます。

そこでまずは、順列と組み合わせの違いについて説明します。

上記をもう一度おさらいします。

順列とは、いくつかのものを順序をつけて並べることです。

組み合わせとは、いくつかのものを順序を考慮せずに取る、取り出し方のことをいいます。

つまり、取り出したものに順番をつけるかどうかで使い分けます。

例えば、A、B、C、D、E、Fの６人のうち4人を1列に並ぶ並び方は、
列は先頭から最後尾まで順番をつけて取り出すので順列を使います。

A、B、C、D、E、Fの６人のうち4人を選ぶ選び方は、
順番は関係なく4人抜き出せば良いので組み合わせを使います。

したがって、順列は組み合わせに順番をつけたもの、
逆に組み合わせは順列から順番を省いたものとなります。

それゆえ、順列で求めた方法は組み合わせで求めた方法よりも多くなり、
逆に組み合わせで求めた方法は順列で求めた方法よりも少なくなります。

和の法則、積の法則

和の法則

同時に起こらない２つの事象A、Bについて、Aの起こり方をm通り、Bの起こり方をn通りとすると、\(A \cup B\)(AまたはB)が起こる場合の数は、\(m+n\)通りと表します。

積の法則

２つの事柄A、Bについて、Aの起こり方がm通り、そのそれぞれに対してBの起こり方がn通りずつあるとき、AとBが共に起こる場合の数は、\(mn\)通りと表します。

積事象、和事象と排反事象

積事象

2つの事象A、Bについて、「A、Bがともに起こる」という事象をAとBの積事象といい、\(A \cap B\)と表します。

和事象

2つの事象A、Bについて、「AまたはBが起こる」という事象をAとBの和事象といい、\(A \cup B\)と表します。

排反事象

2つの事象が同時に起こらないとき、すなわち\(A \cap B= \emptyset \)のとき、2つの事象は互いに排反であるといい、互いに排反である事象は排反事象であるといいます。

そして、2つの事象が互いには違反であるとき、Aが起こる確率をP(A)、Bが起こる確率をP(B)とすると、

$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$$

となります。

これを確率の加法定理といい、3つ以上の事象に対しても同様に成り立ちます。

独立な試行の確立

2つの試行S、Tが互いに他方の結果に影響を与えないとき、試行S、Tは独立であるといいます。

また、3つ以上の試行において、どの２つの試行も互いに影響を与えないとき、これらの試行は独立であるといいます。

一般に、2つの試行SとTが独立であるとき、Sで事象Aが起こり、Tで事象Bが起こるという事象をCとすると、事象Cが起こる確率は、

$$P(C)=P(A) \times P(B)$$

となります。3つ以上の独立な試行についても、同様な等式が成り立ちます。

反復試行の確率

同じ条件のもとで同じ試行を繰り返し行うとき、この一連の試行は独立しています。このような試行を反復試行といいます。

一般に、１回の試行で事象Aが起こる確率をpとするとこの思考をn回繰り返して行うとき、事象Aがちょうどr回起きる確率は、

$${}_nC_rp^r(1-p)^{n-r}$$

となります。

条件付き確率

事象A、Bについて、事象Aが起こったときに事象Bの起こる確率を事象Aが起こったときの事象Bが起こる条件付き確率といいます。

$$P_A(B)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \ne 0)$$

時短のポイント

「少なくとも」は余事象を使用

余事象とは、全事象の中で、事象Aに対し、「Aが起こらない」という事象をAの余事象といい、\( \overline{A} \)と表します。

事象Aとその余事象\( \overline{A} \)の確率について

$$P( \overline{A} )=1-P(A)$$

で計算することができます。

問題文に「少なくとも1つが…」といった表現になっている場合は、その事象が起こる確率を求めることよりも「1つもない」という事象の確率を求めてから余事象の確率の求め方を使って解いた方が計算が楽になり、時間を短縮することができます。

また、起こりうる事象が単純化されるのでミスも減らすことができます。

場合の数を数え上げるパターンを覚える

場合の数で時間がかかる部分は１つ１つの事象を数え上げるところにあります。

事象を数える時間を短縮できれば、確率の問題でも活用できます。

なぜかというと、\(P(A)=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうるすべての場合の数}\)なので、確率の問題でも場合の数を数え上げる必要があるからです。

場合の数の演習問題を解いて場合の数の数え方のパターンを掴みましょう。

共通テスト数学1A大問3の特徴

条件付き確率は出題される可能性大

2021年から実施された共通テストですが、2021年、2022年ともに条件付き確率が出題されました。

これは、センター試験からの傾向であり、共通テストでもその傾向が続いています。

上記の条件付き確率の解き方を覚えられるように演習問題を解いて試験に臨みましょう。

共通テスト独自の問題形式

会話文形式

共通テストでは、従来のセンター試験と比べて表現力や思考力、判断力を問われるようになり、
あまり見たことのない形式の問題が出されました。

数学1Aの大問3では以下のような問題が出されました。

引用:『大学入試数学問題集成　2021年　共通テスト　本誌』

このように、太郎さんと花子さんの会話から問題を出す形式が、多くの受験生を悩ませました。

会話文の中には問題を解くのに必要のない部分もあります。

それにより問題文が長くなり、読むことにたくさんの時間を消費してしまいます。

共通テストは、制限時間は70分であり、大問3はおよそ14分しか使えません。

いかに効率よく会話の中から必要な部分を抜き出していけるのかが重要となってきます。

大問3では、問題を解くのに必要な部分は数字の部分や\({}_nP_r\)、\({}_nC_r\)の順列や組み合わせが書かれている部分、\(P_w(A)\)や\(P(A \cap B)\)のアルファベットで書かれている部分になります。

どこが重要な部分なのか確認する際にもう一度問題文を読むのは時間がかかるので、問題で使用する部分には線を引いたりして印をつけておくと、確認の際にわかりやすく、また問題文を１から確認しなくても良いので、時間を省くことができます。

まとめ

本日は、共通テスト大問3の解き方や早く解く方法を紹介しました。

従来のセンター試験に比べて共通テストは、問題文が多いので読むだけで時間が取られてしまいます。

焦って読むと問題文の意図がわからなかったり、問題を解く上で重要な部分を見落としてしまう可能性があります。

落ち着いて読むためにもあらかじめ戦略をたて、心に余裕を持てるようにしておきましょう。

また、自身で対策を練ることは難しいと感じた方は、塾に頼ることも選択肢の1つです。

弊塾「かみまち個別指導塾」は愛知県西尾市にある高校生対応の個別指導塾です。授業はもちろん、学習計画や進路相談など受験を全面的にサポートさせていただきます。

体験授業の申し込みはこちらからよろしくお願いします。